Fractal, 關於分形

在美劇《White Collar》中當Neal Caffery跟Mozzie解出音樂盒中的密碼時，得到的是一個分形天線(fractal antenna)的圖樣。

    這是一個很有趣的東西，fractal(中文譯作碎形、分形)，這個名詞由法國知名數學家Benoît B. Mandelbrot在1975年創造出來，其源自拉丁文中 的"frāctus"，有零碎、破碎的意思。但最早起源自17世紀，德國數學家兼哲學家Gottfried Wilhelm Leibniz思考過的一些遞迴上的自相似性(不禁覺得那時的人都是全才，這位先生同時也是歐洲理性主義哲學的代表性人物)，不過今天不討論太多歷史，不然到這裡就會讓人想直接END了。

    一個碎形通常具有下列特徵：

1. 非常不規則
2. 對同一個碎形結構而言，任一尺度下的部分跟整體具有相似性或是統計上的相似性
3. 可以有非整數維度 (歐基里德幾何學中只有整數維度)

我們可以看一些圖片範例:

↑以Chaos Game繪製的Sierpinski Gasket(左)和電腦模擬的樹和樹葉碎形(右)

    如上面的圖片所見，我們很難用一個我們既有認知的簡單幾何圖形去描述一個碎形。事實上在自然世界中碎形存在非常廣泛，像是閃電的路徑、蔬菜的根、雲、山的形狀，小至雪花的結晶，他們的局部跟整體都存在有一個統計上的自模仿性，而我們卻很難用我們熟知的歐基里德幾何學去陳述，這意味著n維(n是整數)歐基里得空間只是一種特例，即便他在線性系統中被廣泛的使用。說到這裡就不得不提一下Mandelbrot在1967年投稿在《Science》中"How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension",這篇論文，簡單說就是在討論英國的海岸線到底有多長。不過很遺憾的Mandelbrot並不是一位地理學家而是位數學家，他討論了Lewis Fry Richardson對於各國一系列對於海岸線總長的量測與單位量測尺規長度的相依性的研究。這個研究是這樣的，Richardson發現不同國家量測出的海岸線長度L(G)是量測尺度G的函數:

L(G)=MG^1-D

其中D是Hausdorff Dimension，我們可以暫時不討論這個豪斯道夫維度是怎麼計算的(事實上他相當複雜且難以計算)，Mandelbrot解釋說我們可以把這理解成海岸線和其他地裡邊界都具有統計上的自似性。

撇開數學不談，碎形也常見於藝術品中，最有名的就是美國現代畫家Pollock的滴畫法，拿掉傳統的畫架，直接把畫布鋪在地上，用鑽了小洞的盒子裝著顏料或以畫筆、棍棒沾了顏料在畫布四周隨意的走動揮灑，有時也橫跨過去，如此反覆卻無意識的動作成就了一幅幅難以辨認構圖中心、線條交錯扭曲的畫面，一般認為這種極端狂放的無意識方法其實是受到了超現實主義畫派的影響。然而卻在Pollock死去的幾十年後，我們透過電腦演算知道其實早在我們真正開始討論碎形的以前，Pollock就已經開始畫著碎形了。現今我們也經由分析他畫作中的Hausdorff Dimension來辨別畫的真偽。

Pollock的作品

至今日，我們已經知道自然界的許多現象都是一個非線性動態系統所造成，透過觀察事物的局部與整體的關係，我們企圖對這些系統的運作方式能更加的了解，故而成就了碎形與混沌系統兩門學問的發展。然或許就像Leibniz所講的：「一滴水中包含了豐富的宇宙，而宇宙中又包含著水滴，以此循環、無窮無盡」，會不會我們所慣以生活的世界、宇宙其實又是一個大宇宙的縮影呢？